대학수학(미분적분학), 라플라스 변환, 푸리에 변환, 안정도

한동안 헷갈렸던 개념을 간단하게 정리한다.

정확한 표현은 아닐 수도 있지만, 이건 내 이해를 위한 것이니 다른 분들은 양해를 바란다.

 

그동안 나는 왜 오일러 공식이 성립하는지 잘 몰랐다.

다만 그냥 가져다 썼다.

그래서 ChatGPT한테 물어봤더니 대학교 1학년 과정부터 설명해줬다.

 

미분적분학에서는 테일러 급수의 개념이 나온다.

이는 특정한 한 점에서 함수의 궤적을

그 함수의 미분과 다항식의 곱으로 된 급수로 표현하는 

방식이다.

 

여기서 사인과 코사인 지수함수는 무한 미분이 가능해서 

이 미분된 값을 더하면 모든 점에서 동일하다고 볼 수 있다.

 

이때 이 사인과 코사인의 테일러 급수 값을 오일러 공식에 넣으면 둘이 같은 값을 가진다고 한다.

그래서 오일러 공식이 성립한다고 한다.

 

그런데, 이때 오일러 공식의 삼각함수 항은 복소 좌표계를 표현하는 방식 중 하나이다.

각도와 원점으로부터의 거리로 표현한다.

 

따라서 우리는 복소좌표계를 하나의 지수함수로 표현이 가능하다.

이게 오일러 공식이라고 한다.

 

그리고 이를 통해서 라플라스 변환에서 e^-st를 곱해서 계산하는 과정을

주파수 영역 변환한다고 표현한다고 할 수 있다고 한다.

 

이때는 삼각함수의 직교성이라고 

어떤 주기 함수를 삼각함수과 곱하면

같은 주파수를 가질 때에만 값을 가지고 나머지는 값이 출력되지 않는다고 한다.

이건 솔직히 말해서 왜 그런지 잘 모르지만, 

주기 함수를 원래부터 여러 삼각 함수의 합으로 표현한다고 생각해서 처리한다.

그러면 다른 주기 함수는 0이 된다.

 

그래서 e^-st를 곱하면 삼각함수를 곱하는 것과 동일하게 봐서 

주파수에 따른 삼각 함수계수 성분만 나온다고 한다.

삼각함수 앞에 붙는 계수가 주파수에 따른 출력 값이다.

 

그래서 이를 주파수 영역으로 표현한다고 볼 수 있다.

 

이때 e-st에서 t는 시간 영역에서 적분하는 값이므로 

변환 결과는 s만 남는데 이는 복소수다.

 

복소수는 실수부와 허수부로 구성되고

이때 실수부는 지수함수의 지수로 들어가서 실제 실수 값이 나오고

허수부는 삼각함수로 표현된다.

 

이때 실수부가 0인 것이 맥클로린 급수라 한다.

 

여기까지가 라플라스, 푸리에 변환이다.

결론은 삼각함수랑 같이 곱하면 특정 주파수의 계수 성분이 출력인

주파수에 따른 함수가 나온다.

 

이때 제어공학의 안정도 개념이 나온다.

이는 시스템은 입력과 출력 사이의 관계로 만들어서 보는데

이 함수는 미분방정식이다.

간단하게 하기 위해서 라플라스 변환을 처리하고

그러면 복소수 s에 대한 함수가 나오는데,

 

여기서 극점은 전달함수의 값을 무한대로 보내는 값이다.

무한대로 보내려면 분모가 0이 되어야 되고

이것이 가능한 점을 극점이라 부른다.

 

이때 이 s는 실수부와 허수부로 표현되는데

당연히 e^-st에 곱해지기에

s의 실수부가 양수이면 감쇄한다.

s의 실수부가 음수이면 지수가 양수라 무한대로 증가하여 발산한다.

s의 허수부는 삼각함수로 표현되는데, 이는 주기적인 신호인 주기적인 발산인가 한다.

 

그래서 복잡한 미분방정식을 라플라스 변환하면서 곱해진 삼각함수를 바탕으로 

이 함수가 발산할지 아니면 수렴할지 확인할 수 있다.