지난 면접에서 디지털 설계에서 신호 및 시스템이 중요하다고 배웠다.
전반적으로 머리 속에 정리가 덜 되어있기에 공부하면서 정리해보려고 한다.
공부하면서 느낀 점인데, 생각보다 내가 공부했던 대학교재가 너무 번역투라서 이해하기 힘들다.
그래서 그냥 새 책을 사서 공부 중이다. 같은 내용이여도 확실히 쉽게 읽힌다.
확실히 공부 할 때는 약간의 시행착오를 거쳐서 맞는 방식으로 공부하는 것이 좋은 것 같다.
내가 산 책은 핵심이 보이는 신호 및 시스템 책이다.
의외로 전공 서적 말고는 책이 별로 없다.
이후 이를 C++로 구현해보려 한다.
이를 위해서 일단 푸리에 변환을 위한 부분부터 볼 것이다.
1. 신호와 시스템
1.4 에너지와 전력 rms 신호
에너지의 경우 신호의 절댓값을 전체 구간에 대해 적분 한 값
전력은 평균 에너지로 에너지를 전체 구간의 길이로 나눈 값
rms는 전력의 제곱근으로 에너지를 구할 때 제곱한 값을 다시 제곱근으로 풀어서 유효값을 계산함
2. 신호와 시스템의 분류
연속 신호(Continuous time)와 이산 신호(Discrete time)
연속신호 표기는 t, x(t), f, ω
이산신호 표기는 n, x[n], F, Ω
아날로그 신호와 디지털 신호
아날로그 신호 : 연속 신호 중에서도 시간과 크기가 모두 연속적인 값을 가짐
디지털 신호 : 이산 신호 중에서도 시간과 크기 모두 이산적인 값을 가짐
시간은 연속 크기는 불연속 -> 적분에서 구간 적분 예시
시간은 불연속 크기는 연속 -> 모르겠음
신호의 길이(Length), 신호의 지속구간(Duration)
신호가 유효한 값을 가지는 시간 구간
연속 신호는 L = t2 - t1의 형태
이산 신호는 N = N2 - N1 +1의 형태
유한 구간(finite duration)은 시간적으로 유한한 길이의 신호
무한 구간(infinite duration)은 시간적으로 무한한 길이의 신호
이산 신호의 표현
이산 신호는 시간적으로 불연속
따라서 이산 신호의 값은 숫자의 나열, 수열이다.
이때, x[0], x[1]으로 표현되는 값이 이산신호의 샘플이라 부른다.
이산 신호이므로 x[n]의 n은 반드시 정수여야 한다.
보통 이산신호는 매일의 주식 가격 등 매 샘플링 간격마다 독립적인 값도 있지만,
연속 신호에 대해서 샘플링 시간 간격으로 값을 취하는 샘플링으로 얻어지기도 한다.
그러면 연속 신호와 샘플링된 이산신호와 관계식을 만들 수 있다.
x[n] = x(nTs)
이때 샘플링 된 이산 신호는 그대로 디지털 시스템에서 처리하지 못하고
신호의 아날로그 크기를 특정 간격의 값만 가지게 해서 연속적인 크기를 이산 크기로 바꾸는 양자화(quantization) 과정과
이 값을 디지털 시스템이 이해하고 처리할 수 있는 이진부호(binary code)f로 만드는 부호화 과정이 필요하다.
2.1.2 주기신호와 비주기 신호
주기(periodic)신호는 파형이 끊임없이 반복되는 신호
연속 신호 : x(t+kT) = x(t), k는 정수
이산 신호 : x[n+kN] = x[n], k, N은 정수
비주기(aperiodic)신호는 주기성을 만족하지 않는 신호
파형이 반복되는 최소 시간 간격을 T, N을 기본 주기(fundamental period)라고 한다.
주기 신호의 합이 주기 신호가 될 조건
각 주기 신호의 주기의 비가 유리수가 될 경우,
이때 새로운 신호의 주기는 각 신호 주기의 최소 공배수이다.
=> 두 신호의 비가 무리수가 되면 두 신호가 모두 이전 신호와 같은 값을 가지는 부분이 나오지 않는다.
둘 중 하나는 늘 다른 값을 가진다.
2.1.3 우대칭 신호와 기대칭 신호
우대칭 : 좌우 대칭, 세로 축에 대해 대칭, x(t) = x(-t)
기대칭 : 상하 좌우 대칭, 180도 회전 대칭, 원점 대칭 x(t) = -x(-t)
임의의 신호 x(t)는 우대칭 신호와 기대칭 신호의 합으로 표현할 수 있다.
우대칭 성분은 신호를 우대칭 한 것을 더하면 기대칭 신호는 상하 반전이 되어서 상쇄되어 사라지고 우대칭 신호만 2배가 된다.
기대칭 성분은 신호를 기대칭 한 것을 더하면 우대칭 신호는 상하 반전이 되어서 상쇄되어 사라지고 기대칭 신호만 2배가 된다.
이후 신호의 크기가 2배이므로 반으로 나눠주면 각 성분을 알 수 있다.
2.1.4 에너지 신호와 전력 신호
에너지 신호는 에너지가 유한한 신호로 전체 구간에 대해 신호 크기의 제곱한 값을 적분해도 유한한 값이 나오는 신호이다.
전력 신호는 에너지 신호의 전체 구간 평균을 내었을 때 유한한 값이 나오는 신호이다.
구간이 극한을 통해 무한하므로 에너지가 유한한 신호는 전력이 0이다.
주기 신호의 경우 한 주기의 에너지는 유한 하지만 무한 반복이 되므로 에너지는 무한,
하지만 에너지의 평균은 일정하므로 전력은 유한하고 전력신호가 된다.
둘 다 아닌 에너지와 전력이 무한한 신호도 있다.
2.1.5 확정신호와 불규칙 신호
확정(deterministic) 신호 : 항상 신호의 값이 시간에 따라 정해져있는 신호, 함수에 해당
불규칙(random) 신호 : 시간에 따라 정해지지 않고, 일정한 통계적 성질을 가지는 신호, 확률로 취급
불규칙 신호의 예시는 백색 잡음 white noise가 있다.
시간에 따라 정해지지 않고, 통계적 성질도 없으면 분석할 가치가 없는 그냥 이름 없는 노이즈다.
2.2 시스템의 분류
2.2.1 연속 시스템과 이산 시스템
연속 시스템은 입력과 출력이 모두 연속인 시스템
이산 시스템은 입력과 출력이 모두 이산인 시스템
2.2.2 선형 시스템과 비선형 시스템
선형성(linearity)는 가산성과 동차성을 함께 만족하는 성질이다.
가산성(additivity)은 여러 신호가 동시에 입력될 때의 출력이 각 신호를 따로 입력시킬때의 출력의 합으로 표현된 것과 같은 특성
동차성(homogeneity) 입력의 크기를 n배 했을 때, 출력도 n배 커지는 특성
중첩의 원리(principle of superposition)이라고도 부른다.
선형 시스템은 입출력 관계가 선형성을 가진다.
비선형 시스템은 입출력 관계가 선형이 아닌 시스템이다.
선형 시스템은 출력에 입력의 주파수가 보존된다.
비선형 시스템은 출력에 입력과 다른 주파수가 생길 수 있다.
비선형 시스템의 예시로는
리미터 제너 다이오드를 활용한 정전압 회로
포화기 화력 발전소의 보일러
히스테리시스 회로 철심의 자화곡선(변압기)
backlash라고 입력을 변화해도 한동안 안변하다가 바뀌는 것을 뒷틈(backlash)라 부른다.
선형 시스템의 장점
복잡한 형태의 입력신호를 단순한 형태로 분리한뒤,
각각의 단손한 신호들에 대한 응답을 계산하고 이들을 더해서 시스템의 출력을 구할 수 있다.
좀더 정확히는 비선형 시스템은 규칙성의 없다고 보면 되서 예측이 불가능하고
그나마 선형 시스템은 예측 가능하다는 소리이다.
선형 시스템은 입력 주파수가 보존된다.
그래서 주파수를 제외한 신호의 크기와 위상 변화만 계산하면 된다.
선형 시스템은 입출력 공간의 원점을 통과하는 일차식으로 나타나야 선형 시스템이 된다.
비선형 시스템의 선형 근사화 단진자
sin(θ(t))가 아주 작아지면 θ(t)로 근사해서 미분 방정식 계산
2.2.3 시불변 시스템과 시변 시스템
시불변(time invariant) 시스템
입력을 넣는 시간과 상관 없이 같은 입력에 대해서는 항상 같은 반응을 나타내는 시스템이다.
입력신호를 t0만큼 지연해서 넣어도, 출력 신호도 t0만큼 지연되어 나온다. 출력 파형은 변하지 않는다.
=> ???
생각해보니 입력 신호가 함수로 표현되서 시간에 따라 값이 달라지고,
시스템의 관점에서는 시간에 따라 내부 알고리즘이 변하지 않는다는 소리이다.
그냥 입력에 따라 출력한다는 소리이다.
시변(time varying) 시스템
입력이 들어오는 시간에 따라 출력이 달라지는 시스템
시불변 시스템은 시스템 특성이 시간에 따라 바뀌지 않아야 되므로
시스템 방정식의 계수가 상수이면 시불변 시스템, 시간의 함수이면 시변 시스템이다.
판별 방식은 기본 시스템의 방정식에서 출력을 지연한 결과와
입력을 지연시켜 계산한 출력을 비교한다.
주로 입출력 방정식의 계수가 상수면 시불변, 시간함수이면 시변 시스템이다.
선형 시불변 시스템 (LTI, Linear Time Invariant)시스템
신호 및 시스템에서는 선형 시불변 시스템을 다룬다.
2.2.4 인과 시스템과 비인과 시스템
시스템의 인과성 (causality) : 원인이 있어야 결과가 나온다.
인과 (causal) 시스템은 입력은 인가하기 전에는 출력이 발생하지 않는 시스템.
현재와 과거의 입력에만 의존하고 미래 입력에는 무관
비인과(noncausal) 시스템은 미래 입력에 대해 현재 반응할 수 있는 예측(anticiparoty)시스템이다.
현재 출력에 미래 입력이 관여하는 시스템이다.
실시간 처리는 비인과적 동작은 물리적으로 불가능
하지만, 실시간 처리가 아닌 입력을 모두 저장하고 있다가 특정 시점을 출력을 구할때는
비인과 시스템을 구현할 수 있다.
화질 개선 필터 예시
이전 프레임과 다음 프레임으로 현재 프레임을 압축및 개선하면
비인과 시스템이라 볼 수 있다. 후처리 작업이다.
그러니까, 데이터는 연속적이라서 다음 데이터를 미래의 데이터라 볼 수 있지만,
실시간이 아니기 때문에 이것이 현실의 시간적으로 미래라는 것은 아니다.
2.2.5 안정 시스템과 불안정 시스템
안정도(stability) 동작이 불안하지 않고 꾸준히 작동될 수 있는가?
기준 : 유한 입력 유한 출력(BIBO, Bounded Input Bounded Output stability)
시스템의 입력이 유한한 크기를 가질 때, 출력의 크기도 반드시 유한하게 보장된다.
안정 시스템은 BIBO 안정도를 만족하는 시스템으로 망가지지 않고 꾸준히 작동될 수 있는 시스템이다.
불안정 시스템은 BIBO 안정도를 만족하니 않는 시스템으로 입력이 유한해도 출력이 점점 커져서 작동을 멈춘다.
2.2.6 순시적 시스템과 동적 시스템
동적 시스템(dynamic, 기억 시스템 system with memory) 현재의 입력과 과거의 입력에도 영향을 받는 시스템
입출력 관계가 미분(차분) 방정식의 형태이다.
순시적 시스템(instantaneous, 무기억 시스템 memoryless) 출력이 현재의 입력에만 의존한다.
입출력 관계가 대수 방정식으로 표현된다.
순시적 시스템은 단순하기 때문에 특별한 분석이 필요 없다보니
주로 다루는 시스템은 동적 시스템이다. 과거 이력을 분석해야 현재 출력을 구할 수 있어서 특성 분석이 복잡하기 때문이다.
2.2.7 가역 시스템과 비가역 시스템
역 시스템 (inverse system) 시스템의 출력을 입력으로 인가하여 시스템의 입력을 출력으로 얻는 시스템, 역함수
가역 시스템(invertible system) 역시스템이 존재하는 시스템, 입출력 관계가 일대일 대응
비가역 시스템(non-invertible system) 역시스템이 존재하지 않는 시스템
시스템의 출력을 역 시스템의 입력으로 넣으면 다시 원래 입력이 나와서 항등이다.
3. 기본 신호와 연산
4. 임펄스 응답과 컨볼루션
4.1 시간 영역 해석과 시스템의 응답
4.1.1 시스템의 시간 영역 해석
시간 영역 해석은 시간 함수에 대한 입출력 신호에 대한 출력을 통해 시스템의 표현식을 구하고, 출력과 특성을 분석한다.
시스템의 컨볼루션 표현은 외부 입력에 대한 시스템의 반응만 나타내는 모델 임펄스 입력에 대한 출력인 임펄스 응답이 핵심적인 역할이다.
보통 미분/ 차분 방정식으로 표현된다. 시스템 내부의 초기 조건에 의한 반응까지도 고려된 모델이다.
시스템의 입력신호에 반응하여 내보내는 결과를 출력 혹은 응답(response)라고 한다.
시스템의 출력 중 어떤 부분은 전원이 인가되기만 해도 출력이 나오기도 한다.
이를 초기상태라 부른다. 이런 초기 상태는 컨벌루션 표현으로는 반영할 수 없어서 초기 조건으로 따로 표현해 둔다.
입력에 의한 시스템의 출력을 구할 때는 컨벌루션 표현과 미분/차분 방정식으로 표현할 수 있으나,
시스템의 초기 상태를 고려하려면 미분/ 차분 방정식으로 표현해야 된다.
4.1.2 시스템의 응답
초기 상태 및 입력 유무 : 영입력 응답 / 영상태 응답
시스템 모드 포함 여부 : 고유 응답 / 강제 응답
평형 상태 도달 여부 : 과도 응답 / 정상상태 응답
영입력 응답 (zero input response) 입력 없이 시스템 내부의 축적된 에너지, 초기 조건에 의한 응답
=> 입력 없어 초기 상태이다. 시스템의 본질적인 특성을 파악
영상태 응답 (zero state response) 오직 외부 입력에 의한 응답 성분으로 초기 상태가 0일때의 시스템 응답.
=> 초기 상태가 0이라 입력만이 출력에 영향을 준다. 원하는 결과를 얻기 위해 입력을 어떻게 조절할 것에대한 정보 파악
고유 응답 (natural response) : 시스템 자체의 고유한 특성을 반영하는 응답.
강제 응답 (forced response) : 외부 입력의 특성을 반영한 응답
영 입력 응답은 시스템의 특성만을 반영하므로 고유응답에 속함
영 상태 응답은 초기 상태가 0인 특성과 외부 입력에 대한 특성 모두 있어, 고유 응답과 강제 응답 둘다 있다.
과도 응답 (transient response) : 시스템이 작동되어 평형상태에 도달하기 전까지의 과정에서 나온 출력, 정상적인 동작 전의 응답
정상상태 응답 (steady state response) : 시스템이 평형 상태에 도달하여 변화 없이 안정적으로 유지되는 응답.
과도응답은 시스템이 평형상태에 도달하면 더는 나타나지 않으므로 감쇠되어 사라지는 성분이다.
정상상태는 최종적으로 나타내는 응답이다.
즉 평형상태가 존재하는 안정한 시스템에만 적용이 가능하다.
4.2 임펄스 응답
임펄스 응답 (impulse response)는 시스템에 임펄스 신호를 입력으로 넣었을 때의 시스템 응답이다.
h(t) , h[n]으로 표현한다.
시스템의 초기조건은 0으로 둔다.
단 한 순간 t=0 혹은 n=0인 순간에만 신호가 들어오기에 시스템의 고유한 성질대로 출력을 보낸다.
따라서 이를 통해서 시스템이 출력을 만들어내는 방식을 볼 수 있고, 시스템의 특성을 파악할 수 있다.
간단하게 요약해서 입력 신호를 임펄스 신호의 수열로 바꾸면 선형성에 의해서 각 임펄스 신호의 임펄스 응답의 합으로 시스템의 특성을 표현할 수 있다.
4.3 시스템의 컨벌루션 표현
임펄스 응답으로 임의의 입력에 대한 시스템의 출력을 구하려면 3가지 조건이 필요하다.
1. 입력 신호를 세기를 표현하는 계수가 곱해진 임펄스 신호의 합으로 표현이 가능해야 한다.
2. 각 임펄스 신호에 대한 출력을 합해서 입력에 대한 출력을 구할 수 있다.
3. 임펄스 응답의 형태가 신호가 인가되는 시간과 관계 없이 바뀌지 않는다.
이중, 2번은 선형성, 3번은 시불변성이다. 이를 통틀어서 LTI(Linear Time Invarient)시스템이라 부른다.
이때 이런 시스템의 출력을 구하는 것을 컨볼루션 표현으로 부른다.
기본 개념 정의는 나왔으니 여기서부터는 내가 간략하게 요약하자.
4.3.1 이산 LTI 시스템의 컨벌루션 표현
위와 같은 연산을 컨벌루션 합이라고 부른다.
위 식은 시불변성, 동차성, 가산성을 통해 구할 수 있다.
입력에 따라 기본 무한대 구간에서, 인과 입력인 경우에는 시작점이 (0,n)이다.
컨볼루션은 결국 임펄스 응답이 입력이 들어간 현재 뿐만 아니라 이전, 이후의 시간에도 영향을 주는 파형일 때,
특정 시간 시점에서 출력을 구하려면, 현재의 입력 뿐만 아니라, 과거의 입력의 출력도 현재에 출력되기에 이를 다 더해서 구해야 된다는 개념이다.
그리고 원래는 이를 각각 계산해서 구하면 되지만, 그러려면 복잡하니,
임펄스 응답을 임펄스 입력과 계수로 나누고,
시간에 따라 더 먼 과거의 입력일 수록 더 늦은 응답이 출력으로 나오기에
임펄스 응답의 신호를 시간 축을 가로로 보고 좌우 대칭 시켜서
먼 거리의 신호가 더 늦은 임펄스 응답을 가지게 하고
여기에 계수를 곱하게 만들어서
출력 기준인 시간 t 혹은 n 에 따른 임펄스 응답을 계산할 수 있는 함수를 만들어 준 것이다.
4.3.2 연속 LTI 시스템의 컨벌루션 표현
여기서는 미분처럼 매우 작은 폭을 설정하고 극한을 통해 근사화한다.
결과적으로 다음과 같은 식으로 정리된다.
이를 컨벌루션 적분이라 표현한다.
입력에 따라 적분 구간이 기본 무한대 구간에서, 인과 입력의 경우 (0,t)로 줄어든다.
여기는 이산 과정과 마찬가지로 된다.
4.4.1 컨벌루션 연산의 이해와 계산
여기는 앞서 설명한 컨볼루션 연산의 이해와 구간을 나눠서 계산하는 방식을 정리해 두었다.
레이더의 정합 필터 예시가 나온다.
4.4.2 컨벌루션 연산의 성질
교환 법칙
결합 법칙
배분 법칙
신호와 t0만큼 이동한 디렉 델타 함수의 컨볼루션은 신호가 t0만큼 이동한 결과가 나온다.
컨볼루션 결과는 각 신호의 길이의 합만큼 나온다.
이산 신호의 경우 1을 빼야 된다.
4.5.1 임펄스 응답의 물리적 의미
임펄스 응답은 시스템의 출력을 구성하는 과거 입력들에 대한 가중치 역할을 해서
과거 입력이 현재 시스템 출력에 기여하는 정도를 알려준다.
시스템에 초기 조건을 부여하는 것과 같아서 시스템의 특성을 알 수 있다.
임펄스 응답은 모든 주파수 성분을 가지는 신호이므로 모든 주파수 응답 특성을 알 수 있다.
4.5.2 임펄스 응답과 시스템의 주요 특성
- 인과 시스템은 임펄스 응답이 인과 신호가 되어야 된다.
인과 시스템 => 현재와 과거 영향, 인과 신호 => 현재와 과거 영항
- 임펄스 응답이 임펄스 신호이면 순시적인 시스템, 아니면 동적 시스템
순시적 시스템=> 현재 입력에만 의존, 시스템이 방정식 형태, 동적 시스템 => 현재 및 과거 입력 영향 시스템이 미분, 차분 형태
- 시스템이 BIBO 안정하려면 임펄스 응답이 절대 적분 가능(절대 총합 가능)해야 한다.
BIBO Boundry Input Boundry Output 입력이 발산하지 않는 신호이면 출력도 발산하지 않는 시스템
결국 임펄스 응답이 적분했을 때, 면적이 무한대로 가버리면 출력이 발산하기에
적분 총합의 면적이 유한해야 된다.
- 시정수(time constant)
시스템이 입력에 대해 완전히 응답을 마치는데 걸리는 시간
시스템의 반응이 얼마나 빠른가를 나타내는 지표
작은 시정수는 빠른 반응, 큰 시정수는 느린 반응
감쇠 지수함수 형태의 임펄스 응답을 가지는 시스템의 시정수는 다음과 같이 정의되는 임펄스 응답의 유효 지속시간으로 정의한다.
여기서 분모는 최대값으로 적분의 면적과 같고 최대 값의 높이를 가지는 사각형을 그리는 시간을 시정수라 부른다.
- 단위 계단 응답
연속 시스템의 계단 응답은 임펄스 응답을 적분했다. 역으로 임펄스 응답은 계단 응답의 미분이다.
이산 시스템의 계단 응답은 임펄스 응답의 이동 합이된다. 역은 차분이다.
- 여기부터는 미분 방정식으로 시스템 분석이라서 조금 나중에 한다.
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5. 연속시스템의 시간영역해석
6. 이산 시스템의 시간영역해석
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건너 뛰고 여기부터 시작한다. 일단 푸리에 변환 먼저 다 보고 그 다음에 다시 보자.
7. 연속 시간 푸리에 급수
7.1.1 신호와 주파수 성분
신호는 기본적인 신호로 쪼갤 수 있다.
기본적인 신호가 다른 주파수를 대표하면 신호를 주파수 성분으로 나누는 것이다.
주파수의 관점에서 처리하기 좋다.
7.1.2 변환과 기저 신호
변환은 신호의 표현을 바꾸는 것, 기본 신호 집합(기저)를 다르게 선택하는 것
변환을 통해 신호의 표현이 바뀌지, 신호 자체가 달라지지 않는다.
기저 신호가 주어지면 일차 결합으로 신호를 표현할 수 있다.
기저 신호를 선택하는 데는 조건이 있다.
7.1.3 주파수 영역 해석과 변환
시간 영역에서는 신호는 파형 함수, 시스템은 임펄스 응답
주파수 영역에서는 신호는 스펙트럼, 시스템은 주파수 응답으로 표현한다.
시간 영역은 직접 실험과 관측, 주파수 영역은 시간 영역에서 변환
7.2.1 푸리에 급수의 정의
신호를 기본파와 고조파의 합으로 표기 일반적으로 무한 급수 형태
기본파 : 주기 신호의 주기가 같은 정현파
고조파 : 기본파의 주파수의 정수배를 갖는 정현파
기본 주파수 기본파의 주파수
푸리에 급수의 수렴 조건 : 디리클레 조건
한 주기 내에서 절대적분 가능해야 된다.
한 주기 내에 극대 극소점의 수는 유한해야 된다.
한 주기 내에 불연속점의 수는 유한해야 한다.
7.2.2 푸리에 급수의 세가지 표현
복소 지수 함수 형식 푸리에 급수
간결형 삼각함수 형식 푸리에 급수
삼각함수 형식 푸리에 급수
7.2.3 직교성을 이용한 푸리에 계수 결정
직교성 기저가 되는 두 값의 내적은 직교한다.
함수의 내적
함수 중 하나를 복소 공액쌍으로 바꿔 곱하고 함수의 정의 구간에 대해 적분하면 이를 내적이라 한다.
이때 내적의 값이 0이면 이 두 함수가 직교한다고 한다.
이를 통해서 삼각함수의 성질을 통해 푸리에 계수의 결정을 간결하게 할 수 있다.
삼각함수의 경우 계수는 다음과 같이 구해진다.
지수 함수 형식 푸리에 계수 Xk는 다음과 같이 구해진다.
주요 신호의 푸리에 급수 변환은 미리 정리하여 외워두면 좋다.
DC-AC 변환기
신호 on/off 1/0으로 사각파, 구형파, 방형파를 만들 수 있다.
이때 저역 통과 필터를 통해 고조파 성분을 제거하면 정현파를 만들 수 있다.
7.3.1 푸리에 급수의 의미
신호의( 주파수, 푸리에) 스펙트럼
주기 신호의 스펙트럼은 복소 정현파 성분의 진폭과 위상을 주파수에 대해 표시한 것이다.
주파수는 이미 정해졌고 남은 진폭과 위상만 표현하면 신호를 표현한다.
그리고 주파수는 기본 주파수의 정수배이기에 주파수에 대해 불연속이며 그래프에 선으로 표시된다.
이를 선 스펙트럼이라 부른다.
주파수 분석은 신호로부터 스펙트럼을 구하는 과정이다. 디리클레 조건을 만족하는 신호만 분석이 가능하다.
주파수 합성은 스펙트럼을 바탕으로 정현파를 합쳐서 신호를 만드는 과정이다.
이를 통해 어떤 신호든 만들어낼 수 있다.
깁스 현상
표현이 무한 급수이다 보니 유한한 값을 더하면 신호가 완벽하지 않다.
따라서 사각파와 같이 평활한 부분과 급격하게 꺾인 부분이 있다면
평활한 부분에는 리플(맥동)이 남고, 급격하게 꺾인 부분에는 오버슈트가 남는다.
7.2.3 진폭 스펙트럼의 역할
주파수에 따른 기본파와 고조파 성분의 양을 의미한다.
보통은 저주파에서 고주파로 갈수록 신호의 크기가 줄어든다.
파형의 시간적 변화가 사인파와 같으면 더 추가할 것이 없어 신호의 감쇠가 급격하고
사각파와 같이 급격한 변화가 있으면 추가를 많이 해야되서 신호의 감쇠가 완만하다.
가장 완만한 신호는 정현파이다. 기본 파형으로 다른 고조파가 필요 없기에 가장 완만하다.
7.3.3 위상 스펙트럼의 역할
진폭 스펙트럼이 같더라도 위상 스펙트럼이 다르면 합성된 신호가 다르다.
위상 스펙트럼은 시간 축의 이동을 말한다.
이때 시간 축에서 모든 주파수 성분의 시간 이동이 똑같으면 합성된 파형은 바뀌지 않을 것이다.
이때 위상만 바뀌는데, 주파수에 대해 선형적으로 비례하는데, 이는 낮은 주파수와 높은 주파수가 이동한 위상이 주파수에 따라 다르게 표시되기 때문이다. 주파수가 높으면 많이 이동하고, 낮으면 적게 이동해야 된다. 이를 선형적으로 비례한다고 표현했다.
7.4.1 파형의 이동에 따른 스펙트럼의 변화
진폭 이동, DC 성분만 바뀜 y 축 이동
시간 이동, 위상 성분만 선형적으로 바뀜
7.4.2 파스발 정리와 주기 신호의 전력
주기 신호의 전력은 시간 영역이나 주파수 영역이나 같다.
이는 신호를 변환한 것이지, 다른 신호가 아니기 때문이다.
또한 직교성에 의해 서로 다른 주파수 간에 전력이 만들어 지지 않으므로
주기 신호의 전력은 고조파 성분의 전력을 합하면 같다.
신호의 전고조파 왜율(의율) THD
앰프 같은 곳에서 신호를 증폭하면 L, C 소자에 의해서 주파수에 따라 증폭되는 비율이 달라진다.
따라서 신호가 왜곡된다.
이를 표현하는 것이 THD이다.
기본파의 실효값 을 전고조파의 실효값과 비교해서 왜곡된 비율을 표시한다.
여기서 파스발 정리가 적용된다.
8. 연속 시간 푸리에 변환
여기는 좀 나중에
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9. 푸리에 변환의 응용
9.1 필터링
9.2 샘플링
10. 라플라스 변환
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11. 이산 시간 푸리에 급수
12. 이산 시간 푸리에 변환
12.5.1 푸리에 표현 사이의 관계와 특성
CTFT과 DTFS는 변환과 역변환이 서로 쌍대성을 가진다.
CTFS와 DTFT는 변환과 역변환의 적분과 시그마로 쌍대성이 성립하지 않다.
주기신호는 이산 스펙트럼을 가진다.(주기와 고조파)
비주기 신호는 연속 스펙트럼을 가진다.
주기신호의 스펙트럼은 비주기 신호의 스펙트럼의 샘플값이다.
연속신호의 스펙트럼은 비주기 적이고, 이산신호의 스펙트럼은 주기함수가 된다.(이산 신호는 임펄스 형태로, 기본파와 고조파로 구성된다.)
12.6.1 이산 푸리에 변환의 개요
연속함수는 컴퓨터 계산이 불가능하다.
원본 신호는 샘플링을 통해 이산 신호로 바꿀 수 있다.
다만 이를 푸리에 변환을 하면 연속 주기 스펙트럼을 생성하는데,
이를 샘플링 하면 다시 컴퓨터에서 다룰 수 있는 이산 주기 스펙트럼으로 볼 수 있고,
이를 다시 푸리에 역변환 하면 이산 주기 신호가 발생한다.
이처럼 이산 신호와 이산 스펙트럼을 짝지어 푸리에 컴퓨터가 연산하기에 적합한 형태로 변형한 것이 이산 푸리에 변환(DFT)이다.
이론적으로 검증되기 보다는 컴퓨터에 맞춰 수정한 도구이다.
결국 일단 크기 N의 이산 신호를 DTFT한 뒤 연속 스펙트럼에 대해서 크기 M으로 샘플링 하면 되는데,
이때, 샘플링 크기 M은 반드시 N보다 크거나 같아야 된다.
샘플 스펙트럼을 역변환하면 이산 신호를 주기 M으로 반복한 신호가 되는데, M이 N보다 작으면 중첩이 일어난다.
보통은 M=N으로 설정한다.
13. z 변환
이산 신호의 수열에 z를 붙여서 복소 변수 z에 대한 함수로 다루는 것이 z변환의 기본 아이디어다.
여기서 z는 샘플 시간 간격을 알려주는 역할이다.
다만 무한 급수로 표현되고 합이 존재하려면 z에 대해서 공비의 절댓값이 1보다 작아야 하는 조건이 있다.
이를 z변환의 수렴영역 Region of Convergence라고 한다.
이때 z^-n으로 표현한다. DTFT와 일관성을 위해서
이때 이 수렴 영역에 따라 일대일 대응이 안 될수 있기에
양방향 z 변환(bilateral), 단방향 z 변환(unilateral)으로 나눠서 취급한다.
양방향 z변환은 양과 음의 무한대 시간 구간 범위 안에 존재하는 신호를 변환 할 수 있다.
다만 항상 수렴 영역을 지정해야 된다.
단방향 z변환은 인과신호 과거의 입력과 무관한 신호를 대상으로 한 변환이다.
x[n]과 X(z)가 일대일 대응 된다. 그래서 수렴 영역을 지정할 필요가 없다.
DTFT는 z변환의 특별한 경우로서 z = e^(jΩ), z평면의 단위 원 위에서 계산된 z변환이다.
z 역변환
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